שתי הצגות של אותה סדרהאינדוקציה 571 · שיעור 16

אינדוקציה · שאלון 571

שיעור 16: שתי הצגות של אותה סדרה

פרק 4 – סדרות: כלל נסיגה ונוסחה לפי מקום

1נוסח השאלה

2הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי סדרות: a_n = n² + 2n, והסדרה b_n המוגדרת על ידי b₁ = 3, b_{n + 1} = b_n + 2n + 3.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים: a_n = b_n.

הוכחה באינדוקציה

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

a₁ = 1² + 2 · 1 = 3

b₁ = 3

a₁ = b₁ ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

b_k = a_k = k² + 2k

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

הוכחה באינדוקציה · המשך

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

b_{k + 1} = a_{k + 1}

נחשב את a_{k + 1} לפי הנוסחה:

📐 נוסחת הכפל המקוצר

a_{k + 1} = (k + 1)² + 2(k + 1)

= k² + 2k + 1 + 2k + 2

= k² + 4k + 3

נחשב את b_{k + 1} לפי כלל הנסיגה:

📐 כלל הנסיגה

b_{k + 1} = b_k + 2k + 3

📐 נוסחת הכפל המקוצר

(a + b)² = a² + 2ab + b²

📐 כלל הנסיגה

b_{k + 1} = b_k + 2k + 3

הוכחה באינדוקציה · המשך

b_{k + 1} = b_k + 2k + 3

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= k² + 2k + 2k + 3

= k² + 4k + 3

b_{k + 1} = a_{k + 1} ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓ – שתי ההצגות מתארות את אותה סדרה

📐 הנחת האינדוקציה

b_k = k² + 2k

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא